ALGEBRA

SUMA 

POLINOMIOS Y BINOMIOS

La suma de dos monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

axⁿ + bxⁿ = (a + b)bxⁿ

2x² y³ z + 3x² y³ z = 5x² y³ z

Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio.

2x² y³ + 3x² y³ z

POLINOMIOS 

POLINOMIOS

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3      Q(x) = 4x − 3x² + 2x³

1Ordenamos los polinomios, si no lo están.

Q(x) = 2x ³− 3x² + 4x

P(x) + Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x²+ 4x)

2Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x − 3

3Sumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x − 3

También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

P(x) = 7x⁴ + 4x² + 7x + 2      

Q(x) = 6x³ + 8x +3

P(x) + Q(x) =

= 7x⁴ + 6x³ + 4x² + 15x + 5 

RESTA DE POLINOMIOS Y BINOMIOS

RESTA DE MONOMIOS

Para restar monomios se restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. Hay que tener en cuenta que solamente se pueden restar los monomios que son semejantes.

axⁿ - bxⁿ = (a - b)xⁿ

Ejemplo de rests de monomios:

4x²y³z - 5x²y³z = -x²y³z

RESTA DE POLINOMIOS

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x − 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x² + x − 3

LOS NÚMEROS REALES

NÚMEROS REALES

En matemáticas, los números reales (designados por ℝ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: √5, π, el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

1._ NÚMEROS RACIONALES

Si se necesita además dividir, surgen los números racionales (o fraccionarios, o quebrados), ={... 1/2,  5/3,  8/10,  238476/98745, ...... }

• Los racionales se obtienen a partir de los enteros añadiendo los inversos para la multiplicación.
  • La suma de dos racionales a/b y c/d se define como a/b+c/d=(ad+cb)/bd.
  • El producto de dos racionales a/b y c/d se define como ac/bd.
  • Dos números racionales a/b y c/d son iguales si y sólo si ad=bc.
    
       (En todo lo anterior, a, b, c y d denotan números enteros) 
  • Un número racional se dice que está expresado mediante una fracción irreducible si el numerador y el denominador no tienen factores comunes.
  De este modo, el conjunto de los racionales, con las operaciones de suma y producto tiene estructura de cuerpo conmutativo.
• En  se pueden resolver todas las ecuaciones lineales, es decir, aquéllas de la forma ax+b=0, con a y b racionales.

En  se puede definir un orden total compatible con las operaciones suma y producto definidas anteriormente y que extienda el orden existente en  y en . Para ello basta con definirlo como sigue:

Dados dos números racionales a/b y c/d, donde b y c son enteros positivos (esto siempre puede conseguirse, por ejemplo, si b es negativo basta con multiplicar a y b por -1 para obtener un número racional igual que el dado pero con denominador positivo), se dice que  si y sólo si  respecto del orden existente en el conjunto de los enteros.

Por tanto  con dicho orden es un conjunto totalmente ordenado.

DENSIDAD DEL ORDEN 

Dados dos números racionales distintos, , siempre existe otro número racional  tal que .

Para ello, si    , con  b y d positivos, basta con tomar 







Ejercicio: probar que efectivamente  (por ejemplo, entre  3/5 y 2/3 se encuentra 5/8)

Ahora bien, reiterando el proceso de intoducir un racional entre cada dos racionales distintos es claro que entre dos racionales distintos existen infinitos racionales distintos,
 

Por ejemplo, ahora entre 3/5 y 5/8 se encuentra 8/13, entre 3/5 y 8/13 se encuentra 11/18, etc., tenemos asi 3/5 < ...... < 11/18 < 8/13 < 5/8 < 2/3.

por eso se dice que el conjunto de los racionales es un conjunto denso. No tiene sentido hablar del racional siguiente o anterior a uno dado. Esto es algo que no ocurría ni en el conjunto de los naturales ni en el de los enteros.

cotas y fronteras

cotas
cota superior

Definición: 
Dado un conjunto A de números reales, no vacío, diremos que k es cota superior del conjunto A, si y sólo si, para todo x que pertenece a A se cumple que es menor o igual que k. 

Con símbolos matemáticos: 

k es cota superior de A⇔∃x,x∈A∧∀x⇒x≤k

Observaciones: 
· Si existe k en las condiciones anteriores, decimos que A está acotado superiormente. 

cota inferior

Definición: 
Dado un conjunto A de números reales, no vacío, diremos que k es cota inferior del conjunto A, si y sólo si, para todo x que pertenece a A se cumple que es mayor o igual que k. 

Con símbolos matemáticos: 

k es cota inferior de A⇔∃x,x∈A∧∀x⇒x≥k

Observaciones: 
· Si existe k en las condiciones anteriores, decimos que A está acotado inferiormente. 
· Si el conjunto A se encuentra acotado tanto superior como inferiormente, decimos que el conjunto A se encuentra acotado. 

Ejemplo: 
El conjunto de los números naturales (N) está acotado inferiormente. 

fronteras

sea C un conjunto del eje de abscisas decimos que A es frontera superior del conjunto C si satisface las dos condiciones siguientes:

a) A es cota superior de C 

b) cualquier otro punto X que sea cota superior de C cumple la condición X>A. 

OBSERVACIÓN:

Un conjunto no puede tener mas de una frontera superior. en efecto si A y B fueran dos