RAICES DE REALES POSITIVOS

RAICES DE REALES POSITIVOS 

Raices de un plonimio 

Las raíces de un polinomio son números tales que hacen que un polinomio valga cero. Podemos decir también que las raíces enteras de un polinomio de coeficientes enteros serán divisores del término independiente. Cuando resolvemos un polinomio igualandolo a cero obtenemos como soluciones las raíces del polinomio. Como propiedades de las raíces y factores de los polinomios podemos decir que los ceros o raíces de un polinomio son por los divisores del término independiente pertenecientes al polinomio. Entonces a cada raíz por ejemplo del tipo x = a le correspondería un binomio del tipo (x-a). Se puede expresar un polinomio en factores si lo escribimos como producto de todos los binomios que tengamos del tipo (x-a) que sean correspondientes a las raíces, x=a, que obtengamos. Aquí les dejo un ejemplo

f(x) = x² + x - 12

Cuando lo igualamos a cero y lo resolvemos tenemos:

x2 + x - 12 = 0	Igualando a cero.
(x + 4)(x - 3) = 0	Factorizando.
x = - 4	Solución 1
x = 3	Solución 2

Puesto que x₁ = - 4 y x₂ = 3 son soluciones de f(x) entonces f( -4 )= 0 y f( 3 )= 0. Decimos entonces que x = - 4 y x = 3 son raíces del polinomio f(x)= x² + x - 12

Factorizar un polinomio

Factorizar consiste en descomponer un polinomio como producto de otros más simples. Cuando un polinomio no se puede poner como producto de otros más simples se dice que es irreducible.
Para factorizar un polinomio hallamos su raíces, si a es una raíz de P(x), entonces P(x)=(x-a)·P₁(x), así hemos descompuesto P como producto de dos polinomios, reiteramos el proceso, ahora con P₁y seguimos hasta que nos encontremos con un polinomio irreducible. 

Factoriza el polinomio P(x)=2x⁵ -3x³ +4x² -9x + 6
Usamos la regla de Ruffini, los candidatos a raíz serán los divisores de 6, es decir, 1, -1, 2, -1, 3, -2, 6, -6.
Vamos probando hasta que encontremos un valor cuyo resto es 0, repetimos el proceso con los coeficientes del polinomio cociente hasta que no podamos continuar, porque lleguemos a un polinomio irreducible.
En el ejemplo hemos llegado a un momento en el que no hemos encontrado raíces enteras 2x² +3, con este polinomio podemos continuar planteando una ecuación de segundo grado, aún así no tiene raíces reales por tanto es irreducible. En la figura de la derecha se observa el proceso.
La factorización queda: 
2x⁵ -3x³ +4x² -9x + 6 =(x-1)²(x+2)(2x² +3)

RAICES CUADRADAS DE NUMEROS REALES NEGATIVOS

El número complejo  es . ¿Qué podemos decir acerca de las raíces cuadradas de los números reales negativos en general?

Si  es un real negativo entonces  es un real positivo y  (la raíz cuadrada positiva de ), es un número real. Tenemos

Así que  y  son las raíces cuadradas de  para .

La raíz cuadrada principal de  es . Es denotada por .

Ejemplo 1.29.

1. 
   
2. Si  y  son números reales positivos . Sin embargo, en el caso de los reales negativos la igualdad no es válida. En efecto,
    mientras que 
    mientras que 
3.