DECIMALES PERIODICOS Y RACIONALES

DECIMALES PERIÓDICOS Y RACIONALES

NUMERO DECIMAL PERIÓDICO

Un número decimal periódico es un número racional caracterizado por tener un período (cifras que se repiten indefinidamente) en su expansión decimal. Este período puede constar de una o varias cifras, como:

El período se puede expresar escribiendo un arco encima de las cifras repetidas, por ejemplo:

Tipos de números periódicos[editar]

• Número periódico puro: Cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras que se repiten.
  • Ejemplo: 
• Número periódico mixto (también llamado semiperiódico): Cuando después de la coma hay una o más cifras que no se repiten, seguidas por una o más cifras que sí se repiten.
  • Ejemplo: , en donde 91 es el anteperíodo.

Fracción correspondiente a un número periódico[editar]

Una fracción puede dar un número decimal periódico:

Dado un número periódico en su representación decimal, es posible encontrar la fracción que lo produce (fracción generatriz). Ejemplo:

Otro ejemplo:

El procedimiento anterior es general y permite enunciar las siguientes reglas:

• Número periódico puro: La fracción de un número decimal periódico puro tiene:
  • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
  • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período

Ejemplo:

• Número periódico mixto: La fracción de un número decimal periódico mixto tiene:
  • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
  • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período, seguidos de tantos 0 como cifras tiene la parte no periódica.

Ejemplo:

Tipo de número periódico resultante[editar]

Dada una fracción irreducible (es decir, en la que numerador y denominador son primos entre sí, y por tanto no se puede simplificar más) es sencillo saber si corresponde a un número periódico puro, mixto, o es un decimal exacto, sin necesidad de hacer la división:

• Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos son sólo el 2 y/o el 5, será exacta.

Por ejemplo:

como:

será exacta; en efecto

Otro ejemplo:

como:

será exacta; en efecto:

• Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos no contienen ni al 2 ni al 5, será periódica pura:

Por ejemplo:

como:

será periódica pura; en efecto:

• Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos contienen al 2 y/o al 5, y además algún otro factor, será periódica mixta:

Por ejemplo:

como:

será periódica mixta, en efecto:

NÚMEROS RACIONALES

Los racionales son números x que se pueden expresarse como fracción 
, en la cual p es un número entero que se denomina numerador q es entero distinto de cero que se denomina denominador.

Son números racionales, fracciones y decimales finitos, 
. También pertenecen a los números racionales los números 8,-5, 56 , 0, cuyo denominador es el 1, el que no se escribe. Por lo tanto, el conjunto Q de los racionales tiene subconjunto a los enteros (Z), a los cardinales (No) y a los Naturales (N)

Los Irracionales en cambio son aquellos números que no pueden ser escritos en forma fraccionaria, por ejemplo: los números decimales infinitos no-periódicos, raíces no exactas y algunas constantes. ( 0,5423178356493548712....; ; )

La unión de los racionales (Q) y los Irracionales (Q*) da como resultado un nuevo conjunto denominado: Números Reales (R) .

Clasificación de los Racionales: Los números racionales pueden representarse como fracciones comunes o como decimal.

Fracciones comunes:

• Propias: son aquellas cuyo denominador es mayor que el numerador.
• Impropias: son aquellas cuyo denominador es menor que el numerador
• Números Mixtos: son expresiones que poseen una parte entera y otra fraccionaria.

Decimales

• Finitos
• Infinitos Periódicos
• Infinitos Semiperiódicos

Los decimales finitos son aquellos cuya parte decimal posee un número determinado de dígitos 1,875

Los decimales infinitos poseen una cantidad ilimitada de dígitos después de la coma. A su vez, pueden ser periódicos o semiperiódicos

R: Estructura de Campo

1.1. Axiomas de Campo
El conjunto de los n umeros reales R resulta ser la uni on de los n umeros
racionales Q con los irracionales I. Para cada para de n umeros reales x; y se
de nen las operaciones binarias de suma: x+y; y multiplicaci on: x · y. Dicho
par de operaciones satisfacen los 6 Axiomas de Campo, esto es,

AXIOMA 1: PROPIEDAD CONMUTATIVA.
x + y = y + x
x · y = y · x

AXIOMA 2: PROPIEDAD ASOCIATIVA.
(x + y) + z = x + (y + z)
(x · y) · z = x · (y · z)

AXIOMA 3: PROPIEDAD DISTRIBUTIVA.
x · (y + z) = x · y + x · z

AXIOMA 4: EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS.
x + 0 = x
x · 1 = x
1
AXIOMA 5: EXISTENCIA DE INVERSO ADITIVO.
x + (−x) = 0

AXIOMA 6: EXISTENCIA DE INVERSO MULTIPLICATIVO.
x · x��1 = 1; x ̸= 0

Teoremas de Campo
Nota: de los axiomas anteriores se pueden deducir todas las leyes usuales
de la Aritm etica con las que est a familiarizado el lector por sus estudios
de Algebra Elemental. Las m as importantes de ellas se recogen a continuaci
on como teoremas. En todos estos teoremas las letras: a; b; c; d; representan
n umeros reales cualesquiera.

Teorema 1. Ley de Simpli caci on para la suma.
a + b = a + c ⇔ b = c

Teorema 2. Posibilidad de la sustracci on. Dados a y b existe uno y s olo
un x tal que a+x = b: Este x se designa por b−a: En particular, 0−a
se escribe −a y se denomina el negativo de a.

Teorema 3. b − a = b + (−a):
Teorema 4. −(−a) = a:

Teorema 5. a · (b − c) = a · b − a · c:
Teorema 6. 0 · a = a · 0 = 0:

Teorema 7. Ley de simpli caci on para la multiplicaci on. Si a · b = a · c
y a ̸= 0; entonces b = c:

Teorema 8. Posibilidad de la divisi on. Dados a y b, con a ̸= 0; existe
uno y s olo x tal que a · x = b. El n umero x se designa por b=a o b
a ; y se denomina cociente de b y a. En particular, 1=a se escribe tambi en a��1
y se denomina rec proco de a:

Teorema 9. Si a ̸= 0, entonces, b=a = b · a��1:

Teorema 10. Si a ̸= 0, entonces, (a��1)��1 = a:

Teorema 11. Si a · b = 0, entonces, a = 0 o b = 0:

Teorema 12. (−a) · b = −(a · b); (−a) · (−b) = a · b:

R: Campo Ordenado
2.1. Axiomas de Orden en R
Existe un subconjunto de R, denominado Conjunto de N umeros Reales
Positivos, y denotado por R+, que satisface las siguientes propiedades:

1. AXIOMA 1. LEY DE TRICOTOM IA. Para cada n umero real a s olo
una de las siguientes proposiciones es verdadera:
a ∈ R+
a = 0
−a ∈ R+

2. AXIOMA 2. LEY DE CLAUSURA PARA LA SUMA.
Si a; b ∈ R+ entonces a + b ∈ R+:

3. AXIOMA 3. LEY DE CLAUSURA PARA EL PRODUCTO.
Si a; b ∈ R+ entonces a · b ∈ R+:

2.2. Relaci on de Orden en R

1. DEFINICI ON 1: el conjunto de los N umeros Reales Negativos se de ne
como
R�� := {a ∈ R| − a ∈ R+}:

2. DEFINICI ON 2: sean a; b ∈ R n umeros reales arbitrarios. Se dice que
a es menor que b, y se escribe a < b, ssi b − a ∈ R+:

3. DEFINICI ON 3: sean a; b ∈ R n umeros reales arbitrarios. Se dice que
a es mayor que b, y se escribe a > b, ssi b < a.

4. La aplicaci on de las de niciones anteriores permite aseverar que:
a < 0 ⇔ 0 − a ∈ R+ ⇔ −a ∈ R+ ⇔ a ∈ R��;
o sea,
R�� = {a ∈ R : a < 0}:
5. La aplicaci on de las de niciones anteriores permite aseverar que:
a > 0 ⇔ a − 0 ∈ R+ ⇔ a ∈ R+;
o sea

R+ = {a ∈ R : a > 0}:
6. De los anteriores notamos que: R = R+ ∪ R�� ∪ {0}.

7. Nota: las expresiones a < b, b > a, y otras similares, se denominan
Desigualdades

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