VALOR ABSOLUTO

APROXIMACIÓN

MÉTODOS DE APROXIMACIÓN

Este método consisten multiplicar un número por si

mismo para que te de una cantidad determinada.

Los métodos más conocidos son: método babilónico, método de aproximación, algoritmo tradicional, método de newton.

Ejemplos de la raíz cuadrada simple:

_______ ____

"255 "25

METODO BABILONICO

Este método consiste en ir transformando un rectángulo en un cuadrado.en este método se utilizaran el promedio y la división. Donde la nueva base será 7+4÷2=5.5 y la altura será A÷b=4.9

Ejemplo:

4

7

METODO BABILONICO CORTO

En este tipo de método el número cualquiera a veces no es exacto.

Su formula es:

__

"N a²+N

2a

Ejemplo:

_____

"26

ALGORITMO TRADICIONAL

En este tipo de método se usan 5 pasos el primeo es el residuo, el segundo es bajar periodo, el tercero doblar raíz, el cuarto es tapar la última cifra del residuo y lo que queda dividirlo entre el doble de la raíz, el quinto es que el resultado se coloca en tres partes diferentes.

Ejemplo:

_________ ____________

"8341.0000 "371418.9330

METODO DE NEWTON

Este método es muy similar al método babilónico y se basa en una repetición, ósea, se divide y saca promedio, se divide y saca promedio, etc. En este método la primera aproximación no es muy precisa.

Ejemplo:

_____

6"37

FUENTES DE ERROR EN UN CALCULO

En la vida diaria, muchas veces calculamos de manera aproximada, es decir, usamos valores aproximados para expresar cantidades reales. Esta manera de resolver situaciones reales provoca que se cometan diferentes clases de errores.

Cuando se resuelve un problema usando datos que tienen un error desde el principio del calculo, se dice que tiene un error de entrada.El tamaño del error se llama error absoluto.Cuando el valor aproximado es mayor que el valor exacto, la magnitud del error se calcula usando la formula valor aproximado-valor exacto. Cuando trabajamos con números truncados o redondeados, simplificamos los cálculos, pero introducimos errores y a esto se le llama error de procedimiento. A veces no es posible escribir todas las cifras de un resultado, o en ocasiones no es posible utilizar todas las cifras de un numero a ello se le denomina errores de salida.

Aproximación de un número real

Aproximar un número a ciertas cifras decimales consiste en encontrar un número con las cifras pedidas que esté muy próximo al número dado. Aproximación por defecto, buscamos el número con un determinado número de cifras que es inmediatemente menor que el dado. Aproximación por exceso, es el número con las cifras decimales fijadas inmediatemente mayor. Por ejemplo, dado el número 1.3456 vamos a aproximarlo con dos cifras decimales: a) por defecto es 1.34 b) por exceso es 1.35 Al dar la aproximación en lugar del número se comete un error, en el ejemplo anterior los errores que se cometen son: a) | 1.3456 - 1.34 | = 0.0056 b) | 1.3456 - 1.35 | = 0.0044 s Redondear un número consiste en dar la mejor de las aproximaciones, es decir, aquella con la que se comente un error menor, en nuestro caso si redondeamos 1.3456 a dos cifras decimales, el redondeo será 1.35. En la siguiente tabla tenemos casos de aproximaciones y redondeo

VALOR ABSOLUTO

VALOR ABSOLUTO

Valor absoluto de un números entero

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

|−5| = 5

|5| = 5

Valor absoluto de un número real

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

|5| = 5            |-5 |= 5         |0| = 0

|x| = 2           x = −2           x = 2

|x|< 2        − 2< x < 2        x  (−2, 2 )

|x|> 2            x< −2 ó x>2     (−∞ , −2)  (2, +∞)

|x −2 |< 5     − 5 < x − 2 < 5    

 − 5 + 2 < x <  5 + 2     − 3 < x < 7

Propiedades del valor absoluto

1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a|

|5| = |−5| = 5

2El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a · b| = |a| ·|b|

|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|      |− 10| = |5| · |2|     10 = 10

3El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumados.

|a + b| ≤ |a| + |b|

|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|      |3| = |5| + |2|     3 ≤ 7

Función valor absoluto

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4 Representamos la función resultante.

D= 

a continuación les dejo un vídeo sobre el tema:

exponenetes racionales

EXPONENTES RACIONALES

Una expresión exponencial tiene un exponente racional si se representa en la forma:
bm/n

donde m y n son enteros, n≠0.

Caso especial

Cuando m=1→ bm/n = b1/n , las propiedades de exponentes se puede aplicar en una manera bien efectiva:

Si comenzamos con una igualdad, aprendimos en la lección de ResoluciŖn de ecuaciones lineales que al hacer la misma cosa en ambos lados, la expresión que resulta sigue siendo cierto. La tabla siguiente da ejemplos cuando aplicamos este principio con exponentes:

Expresión Inicial	Acción aplicada en ambos lados	Expresión Final
2 = 2	Subido a la 4	24 = 24
3 = 3	Subido a la 2	9 = 9
a= b1/n	Subido a la n	an= ( b1/n ) n =b

Asi si a es positiva, tenemos la siguiente equivalencia:
a= b1/n es equivalente a an =b

En otras palabras, cuando se evalúa b1/n se debe preguntar que número a se debe elevar a la n-esima potencia para obtener b. A b1/n se le llama la n-esima raiz de b y tambien se puede expresar como b n

OTRAS POTENCIAS FRACCIONARIAS

Definición de b^1/3: b^1/3 se define como , ya que su cubo es b.

Definición de b^1/4: b^1/4 se define como , ya que (b^1/4)⁴ es b.

Definición de b^3/4:  Usando la ley de los exponentes de potencia de una potencia en cualquiera de las dos formas:

Por lo tanto, b^3/4 se define como cualquiera de las expresiones equivalentes .

La definición de cualquier exponente racional es:

Si p y q son enteros, q ≠ 0 y b es un número real positivo, entonces

aqui un pequeño video 

RAICES DE REALES POSITIVOS

RAICES DE REALES POSITIVOS 

Raices de un plonimio 

Las raíces de un polinomio son números tales que hacen que un polinomio valga cero. Podemos decir también que las raíces enteras de un polinomio de coeficientes enteros serán divisores del término independiente. Cuando resolvemos un polinomio igualandolo a cero obtenemos como soluciones las raíces del polinomio. Como propiedades de las raíces y factores de los polinomios podemos decir que los ceros o raíces de un polinomio son por los divisores del término independiente pertenecientes al polinomio. Entonces a cada raíz por ejemplo del tipo x = a le correspondería un binomio del tipo (x-a). Se puede expresar un polinomio en factores si lo escribimos como producto de todos los binomios que tengamos del tipo (x-a) que sean correspondientes a las raíces, x=a, que obtengamos. Aquí les dejo un ejemplo

f(x) = x² + x - 12

Cuando lo igualamos a cero y lo resolvemos tenemos:

x2 + x - 12 = 0	Igualando a cero.
(x + 4)(x - 3) = 0	Factorizando.
x = - 4	Solución 1
x = 3	Solución 2

Puesto que x₁ = - 4 y x₂ = 3 son soluciones de f(x) entonces f( -4 )= 0 y f( 3 )= 0. Decimos entonces que x = - 4 y x = 3 son raíces del polinomio f(x)= x² + x - 12

Factorizar un polinomio

Factorizar consiste en descomponer un polinomio como producto de otros más simples. Cuando un polinomio no se puede poner como producto de otros más simples se dice que es irreducible.
Para factorizar un polinomio hallamos su raíces, si a es una raíz de P(x), entonces P(x)=(x-a)·P₁(x), así hemos descompuesto P como producto de dos polinomios, reiteramos el proceso, ahora con P₁y seguimos hasta que nos encontremos con un polinomio irreducible. 

Factoriza el polinomio P(x)=2x⁵ -3x³ +4x² -9x + 6
Usamos la regla de Ruffini, los candidatos a raíz serán los divisores de 6, es decir, 1, -1, 2, -1, 3, -2, 6, -6.
Vamos probando hasta que encontremos un valor cuyo resto es 0, repetimos el proceso con los coeficientes del polinomio cociente hasta que no podamos continuar, porque lleguemos a un polinomio irreducible.
En el ejemplo hemos llegado a un momento en el que no hemos encontrado raíces enteras 2x² +3, con este polinomio podemos continuar planteando una ecuación de segundo grado, aún así no tiene raíces reales por tanto es irreducible. En la figura de la derecha se observa el proceso.
La factorización queda: 
2x⁵ -3x³ +4x² -9x + 6 =(x-1)²(x+2)(2x² +3)

RAICES CUADRADAS DE NUMEROS REALES NEGATIVOS

El número complejo  es . ¿Qué podemos decir acerca de las raíces cuadradas de los números reales negativos en general?

Si  es un real negativo entonces  es un real positivo y  (la raíz cuadrada positiva de ), es un número real. Tenemos

Así que  y  son las raíces cuadradas de  para .

La raíz cuadrada principal de  es . Es denotada por .

Ejemplo 1.29.

1. 
   
2. Si  y  son números reales positivos . Sin embargo, en el caso de los reales negativos la igualdad no es válida. En efecto,
    mientras que 
    mientras que 
3. 
   
   

DECIMALES PERIODICOS Y RACIONALES

DECIMALES PERIÓDICOS Y RACIONALES

NUMERO DECIMAL PERIÓDICO

Un número decimal periódico es un número racional caracterizado por tener un período (cifras que se repiten indefinidamente) en su expansión decimal. Este período puede constar de una o varias cifras, como:

El período se puede expresar escribiendo un arco encima de las cifras repetidas, por ejemplo:

Tipos de números periódicos[editar]

• Número periódico puro: Cuando inmediatamente después de la coma hay una o más cifras que se repiten.
  • Ejemplo: 
• Número periódico mixto (también llamado semiperiódico): Cuando después de la coma hay una o más cifras que no se repiten, seguidas por una o más cifras que sí se repiten.
  • Ejemplo: , en donde 91 es el anteperíodo.

Fracción correspondiente a un número periódico[editar]

Una fracción puede dar un número decimal periódico:

Dado un número periódico en su representación decimal, es posible encontrar la fracción que lo produce (fracción generatriz). Ejemplo:

Otro ejemplo:

El procedimiento anterior es general y permite enunciar las siguientes reglas:

• Número periódico puro: La fracción de un número decimal periódico puro tiene:
  • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
  • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período

Ejemplo:

• Número periódico mixto: La fracción de un número decimal periódico mixto tiene:
  • numerador: la diferencia entre la parte anterior al período seguida del período (todo escrito sin la coma, de corrido, como un único número entero) menos la parte anterior al período.
  • denominador: tantos 9 como cifras tiene el período, seguidos de tantos 0 como cifras tiene la parte no periódica.

Ejemplo:

Tipo de número periódico resultante[editar]

Dada una fracción irreducible (es decir, en la que numerador y denominador son primos entre sí, y por tanto no se puede simplificar más) es sencillo saber si corresponde a un número periódico puro, mixto, o es un decimal exacto, sin necesidad de hacer la división:

• Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos son sólo el 2 y/o el 5, será exacta.

Por ejemplo:

como:

será exacta; en efecto

Otro ejemplo:

como:

será exacta; en efecto:

• Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos no contienen ni al 2 ni al 5, será periódica pura:

Por ejemplo:

como:

será periódica pura; en efecto:

• Si al descomponer el denominador en factores primos, éstos contienen al 2 y/o al 5, y además algún otro factor, será periódica mixta:

Por ejemplo:

como:

será periódica mixta, en efecto:

NÚMEROS RACIONALES

Los racionales son números x que se pueden expresarse como fracción 
, en la cual p es un número entero que se denomina numerador q es entero distinto de cero que se denomina denominador.

Son números racionales, fracciones y decimales finitos, 
. También pertenecen a los números racionales los números 8,-5, 56 , 0, cuyo denominador es el 1, el que no se escribe. Por lo tanto, el conjunto Q de los racionales tiene subconjunto a los enteros (Z), a los cardinales (No) y a los Naturales (N)

Los Irracionales en cambio son aquellos números que no pueden ser escritos en forma fraccionaria, por ejemplo: los números decimales infinitos no-periódicos, raíces no exactas y algunas constantes. ( 0,5423178356493548712....; ; )

La unión de los racionales (Q) y los Irracionales (Q*) da como resultado un nuevo conjunto denominado: Números Reales (R) .

Clasificación de los Racionales: Los números racionales pueden representarse como fracciones comunes o como decimal.

Fracciones comunes:

• Propias: son aquellas cuyo denominador es mayor que el numerador.
• Impropias: son aquellas cuyo denominador es menor que el numerador
• Números Mixtos: son expresiones que poseen una parte entera y otra fraccionaria.

Decimales

• Finitos
• Infinitos Periódicos
• Infinitos Semiperiódicos

Los decimales finitos son aquellos cuya parte decimal posee un número determinado de dígitos 1,875

Los decimales infinitos poseen una cantidad ilimitada de dígitos después de la coma. A su vez, pueden ser periódicos o semiperiódicos

R: Estructura de Campo

1.1. Axiomas de Campo
El conjunto de los n umeros reales R resulta ser la uni on de los n umeros
racionales Q con los irracionales I. Para cada para de n umeros reales x; y se
de nen las operaciones binarias de suma: x+y; y multiplicaci on: x · y. Dicho
par de operaciones satisfacen los 6 Axiomas de Campo, esto es,

AXIOMA 1: PROPIEDAD CONMUTATIVA.
x + y = y + x
x · y = y · x

AXIOMA 2: PROPIEDAD ASOCIATIVA.
(x + y) + z = x + (y + z)
(x · y) · z = x · (y · z)

AXIOMA 3: PROPIEDAD DISTRIBUTIVA.
x · (y + z) = x · y + x · z

AXIOMA 4: EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS.
x + 0 = x
x · 1 = x
1
AXIOMA 5: EXISTENCIA DE INVERSO ADITIVO.
x + (−x) = 0

AXIOMA 6: EXISTENCIA DE INVERSO MULTIPLICATIVO.
x · x��1 = 1; x ̸= 0

Teoremas de Campo
Nota: de los axiomas anteriores se pueden deducir todas las leyes usuales
de la Aritm etica con las que est a familiarizado el lector por sus estudios
de Algebra Elemental. Las m as importantes de ellas se recogen a continuaci
on como teoremas. En todos estos teoremas las letras: a; b; c; d; representan
n umeros reales cualesquiera.

Teorema 1. Ley de Simpli caci on para la suma.
a + b = a + c ⇔ b = c

Teorema 2. Posibilidad de la sustracci on. Dados a y b existe uno y s olo
un x tal que a+x = b: Este x se designa por b−a: En particular, 0−a
se escribe −a y se denomina el negativo de a.

Teorema 3. b − a = b + (−a):
Teorema 4. −(−a) = a:

Teorema 5. a · (b − c) = a · b − a · c:
Teorema 6. 0 · a = a · 0 = 0:

Teorema 7. Ley de simpli caci on para la multiplicaci on. Si a · b = a · c
y a ̸= 0; entonces b = c:

Teorema 8. Posibilidad de la divisi on. Dados a y b, con a ̸= 0; existe
uno y s olo x tal que a · x = b. El n umero x se designa por b=a o b
a ; y se denomina cociente de b y a. En particular, 1=a se escribe tambi en a��1
y se denomina rec proco de a:

Teorema 9. Si a ̸= 0, entonces, b=a = b · a��1:

Teorema 10. Si a ̸= 0, entonces, (a��1)��1 = a:

Teorema 11. Si a · b = 0, entonces, a = 0 o b = 0:

Teorema 12. (−a) · b = −(a · b); (−a) · (−b) = a · b:

R: Campo Ordenado
2.1. Axiomas de Orden en R
Existe un subconjunto de R, denominado Conjunto de N umeros Reales
Positivos, y denotado por R+, que satisface las siguientes propiedades:

1. AXIOMA 1. LEY DE TRICOTOM IA. Para cada n umero real a s olo
una de las siguientes proposiciones es verdadera:
a ∈ R+
a = 0
−a ∈ R+

2. AXIOMA 2. LEY DE CLAUSURA PARA LA SUMA.
Si a; b ∈ R+ entonces a + b ∈ R+:

3. AXIOMA 3. LEY DE CLAUSURA PARA EL PRODUCTO.
Si a; b ∈ R+ entonces a · b ∈ R+:

2.2. Relaci on de Orden en R

1. DEFINICI ON 1: el conjunto de los N umeros Reales Negativos se de ne
como
R�� := {a ∈ R| − a ∈ R+}:

2. DEFINICI ON 2: sean a; b ∈ R n umeros reales arbitrarios. Se dice que
a es menor que b, y se escribe a < b, ssi b − a ∈ R+:

3. DEFINICI ON 3: sean a; b ∈ R n umeros reales arbitrarios. Se dice que
a es mayor que b, y se escribe a > b, ssi b < a.

4. La aplicaci on de las de niciones anteriores permite aseverar que:
a < 0 ⇔ 0 − a ∈ R+ ⇔ −a ∈ R+ ⇔ a ∈ R��;
o sea,
R�� = {a ∈ R : a < 0}:
5. La aplicaci on de las de niciones anteriores permite aseverar que:
a > 0 ⇔ a − 0 ∈ R+ ⇔ a ∈ R+;
o sea

R+ = {a ∈ R : a > 0}:
6. De los anteriores notamos que: R = R+ ∪ R�� ∪ {0}.

7. Nota: las expresiones a < b, b > a, y otras similares, se denominan
Desigualdades

AQUI UN PEQUEÑO VIDEO