principio de inducción

principio de inducción

 Definición

 Sea N = {1, 2, 3, . . .} el conjunto de los n´umeros naturales, y P(n) una cierta propiedad que puede ser o no cierta para cada n´umero natural n. El principio de inducción matemática afirma que si: i) P(1) es cierta, es decir, el n´umero natural 1 verifica la propiedad, y ii) suponiendo que P(k) es cierta se puede probar que P(k + 1) también es cierta, entonces, cualquier n´umero natural verifica la propiedad. 

Ejemplos

 1. Demuestra que para cualquier n´umero natural n se cumple que: 

1 + 2 + 3 + . . . + n = n(n + 1)/ 2

 Solución:

 En primer lugar, es fácil comprobar que la propiedad es cierta para n = 1:

 1 = 1(1 + 1) /2

 Ahora, suponiendo que la propiedad es cierta para n = k, es decir, que se cumple:

 1 + 2 + 3 + . . . + k = k(k + 1)/ 2 

hay que probar que se cumple para n = k + 1:

 1 + 2 + 3 + . . . + k + (k + 1) = (1 + 2 + 3 + . . . + k) + (k + 1) = k(k + 1) /2 + (k + 1) = = k(k + 1) + 2(k + 1) /2 = (k + 1)(k + 2)/ 2 = (k + 1)[(k + 1) + 1]/ 2 

lo que asegura que la propiedad es cierta para n = k + 1. Entonces, por el principio de inducción matemática, la propiedad es cierta para cualquier n´umero natural.