anillo de los enteros

Anillo

En álgebra moderna, un anillo es un sistema algebraico que es una terna formada por un conjunto (A) no vacío y dos operaciones internas, llamadas usualmente "suma" y "producto" (A,+,*), de modo que (A,+) es un grupo conmutativo con elemento neutro (que se designa por 0), y el producto * que es asociativo y es distributivo respecto de la suma . La inversa de la operación + se llama diferencia y se indica por a - b. En general la operación a,b no tiene inversa ¹ Si el producto es conmutativo se trata de un anillo conmutativo y si el anillo posee un elemento neutro para el producto, lo llamaremos anillo con unidad o anillo unitario, el elemento neutro multiplicativo, si existe, se señala como 1.

Ejemplo de un anillo

Un ejemplo más a la mano de anillo se puede obtener del conjunto familiar de los números enteros:

... -8, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 8, ...

provisto de dos de las operaciones binarias: la adición y la multiplicación conocidas desde la matemática escolar. Históricamente, el conjunto ℤ de los enteros con sus dos operaciones sirvió de base para la formulación del concepto de anillo. La razón por la cual los enteros forman un anillo es que poseen las siguientes propiedades:

1. Los números enteros están cerrados bajo la suma: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b es un número entero.
2. La suma es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a + b) + c = a + (b +c).
3. Existe un elemento neutro para la suma: para todo número entero a, a + 0 = 0 + a = a.
4. Existe un elemento simétrico para la suma: para todo número entero a, siempre existe algún número entero b, tal que a + b = 0.
5. La suma es conmutativa: dados dos números enteros a y b, se cumple que a + b = b + a.
6. Los números enteros están cerrados bajo la multiplicación: dados dos números enteros a y b, se cumple que a × bes un número entero.
7. La multiplicación es asociativa: dados tres números enteros a, b y c, se cumple que (a × b) × c = a × (b × c).
8. Existe un elemento neutro para la multiplicación: para todo número entero a, a × 1 = a.
9. La multiplicación es distributiva respecto de la suma: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

   Definición formal

   
   

   Sea A un conjunto no vacío, y sean  y  dos operaciones binarias en A. Se dice que el conjunto  es un anillo si se cumplen las siguientes propiedades:

   1.	A es cerrado bajo la operación .
   2.	La operación  es asociativa.
   3.	La operación  tiene a n como elemento neutro.
   4.	Existe un elemento simétrico para .

   Estas cuatro condiciones definen un grupo. Una quinta condición define un grupo abeliano:

   5.

   La operación  es conmutativa.

   Para definir un anillo, es necesario agregar tres condiciones más que hablan acerca de la segunda operación binaria:

   6.	A es cerrado bajo la operación .
   7.	La operación  es asociativa.
   8.	La operación  es distributiva respecto de .

   Y agregando una novena condición, se define un anillo conmutativo:

   9.

   La operación  es conmutativa.

   Si un anillo cuenta con un elemento neutro para la segunda operación se llama anillo unitario. A dicho elemento se le suele llamar la unidad (1) para diferenciarlo del elemento neutro de la primera operación (usualmente el 0).