jueves, 26 de marzo de 2015

máximo común divisor

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Fíjate muy bien en el significado de cada una de las tres palabras: máximo, común, divisor.
Máximo: El mayor.
Común: Que sirva para dos o más números a la vez.
Divisor: Que al dividir por este número, el resto de cada una de las divisiones  nos dé cero.
Ejemplo:
Tenemos los números 24 y 20 ¿Cuál es el mayor número que podemos escribir en el divisor de modo que al dividir  24 y 20 por dicho número nos dé  cero de resto?
¿Qué número pondrías en el lugar de X?
Como 24 y 20 son divisibles por 2, podríamos escribir 2 en el lugar de X.
Vemos que también podríamos reemplazar X por 4.
En ambos casos el resto es cero.
¿Cuál de los dos valores es el MÁXIMO COMÚN DIVISOR?
Como verás, el mayor de los dos será el 4.
El máximo común divisor de 24 y 20 es 4 y lo escribimos de modo más reducido:
                                          m.c.d.(24,20) = 4
3.51 ¿Cuál es el máximo común divisor de 15 y 3?
3.52 ¿Cuál es el máximo común divisor de 21 y 14?
3.53 ¿Cuál es el máximo común divisor de 30 y 20?
Respuestas:
3.51 El m.c.d(15 y 10) = 5
3.52 El m.c.d(21 y 14) = 7
3.53 El m.c.d(30 y 20) = 10
¿Solamente se puede calcular el m.c.d. de  dos números?
Puedes calcular de tres o más.
3.54 Calculamos el:
                    El m.c.d (90, 36 y 12)
Hacer este calculo de memoria, probando, tanteando es muy trabajoso.
Hay varios modos de hacer el cálculo. Nosotros vamos a estudiar dos maneras sin hacer uso del ordenador. Tú escoges el que te parezca mejor.
Descomponemos 90, 36 y 12 en sus factores primos:

Cuando hayas acabado de descomponer en factores primos escribes:

Ahora te fijas qué factor o divisor con menor exponente está en los tres números.
El 2 y el 3 están contenidos en 90, 36 y 12, luego, 2x3=6  el máximo común divisor y escribimos:
m.c.d (90, 36 y 12) = 6

PROPIEDADES:

1. Si \ \operatorname{mcd}(a,b)=d entonces \ \operatorname{mcd} \left(\frac{a}{d}, \frac{b}{d}\right)= 1
2. Si \ m es un entero, \ \operatorname{mcd}(ma,mb)= |m|\cdot \operatorname{mcd}(a,b)
3. Si \ p es un número primo, entonces \ \operatorname{mcd}(p,m)=p o bien \ \operatorname{mcd}(m,p)=1
4. Si d=\operatorname{mcd}(m,n),\ m=d'm'',\ n=d'n'',\ \operatorname{mcd}(m'',n'')=1, entonces \ d=d'
5. Si \ d' es un divisor común de \ m y \ n, entonces d'\mid \operatorname{mcd}(m,n)
6. Si \ m=nq+r, entonces \operatorname{mcd}(m,n)=\operatorname{mcd}(n,r)
7. Si \ m=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}\;\, \mathrm y \;\, n=p_1^{\beta_1}\cdots p_k^{\beta_k},\;\, \alpha_i, \beta_i\geq 0, \;\, i=1,...,k, entonces:
\operatorname{mcd}(m,n)=p_1^{\operatorname{min}(\alpha_1,\beta_1)}\cdots p_k ^ {\operatorname{min} (\alpha_k, \beta_k)}

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